空気は暖かいほど水分を含むキャパシティが大きくなります。つまり、空気中の水分量が一定の場合、気温が上がると湿度が下がるのは当然のことなのです。
空気中の水分量自体は変わっていなくても、肌から水分が奪われやすくなるイメージです。

このグラフは極端な例ですが、帰宅して11℃ 湿度40%の部屋で暖房を入れると、23℃になったときには20%にまで湿度が下がります。実際には人間が生活している中で空気中の水分量が増えますので、もう少し湿度の低下は緩やかになります。

エアコンは他の暖房器具よりも乾燥を感じるという方が多いかもしれません。

これは様々な理由があり、
１．エアコンは空気の温度を上げるのが全てなのに対し、ストーブ等は赤外線で体を直接温める効果もあるため
２．空気の循環により肌から水分が奪われやすくなるため
３．やかん等で加湿が出来ないため
などが考えられます。

このため、あまり設定温度を上げすぎないようにするか、加湿器等で空気中の水分量自体を増やすなどが、湿度を下げないために有効となります。

加湿器等を使うと空気中の水分量自体が増えますが、その場合は結露にも注意が必要です。

窓辺や壁際などの外気により空気が冷やされやすい場所では、温度が下がることで結露が生じてしまう場合があります。特に暖房を停止した後は注意が必要です。

窓下ヒーターで窓周辺を暖めたり、二重窓、樹脂サッシなど断熱性の高い窓にするなどの対策が、結露防止に有効です。
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冷房には除湿の効果があるため、エアコンは夏も冬も空気を乾燥させる、と思うかもしれません。これは広義には間違いではありませんが、両者には大きな違いがあります。

このグラフは暖房の時と同様のものですが、夏のほうがそもそも空気中の水分量が5倍程度多いため、数値は変わっています。

帰宅して32℃ 湿度60%の部屋で冷房を入れるとします。冷房を入れるとエアコンの内部ではどんどん湿度が上がり、23℃まで冷えたときに結露が出来はじめます。吹き出す風が18℃だとすると、もともと1m四方の空間内に20グラムあった水分のうち5グラムが結露の水滴として排出され、パイプを伝って屋外に流れ出ます。

つまり冷房時は、部屋の湿度は大きく変わらなくても「空気中の水分量が減る」わけです。
暖房時の、空気中の水分量は大きく変わらなくても「部屋の湿度が下がる」とは対照的なのがわかります。

夏も冬も、小まめな水分補給などが大事といえそうです。
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